파이(π)를 나타내는 수식
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개요
파이(π)는 모두 알고 있듯 원주율을 나타낸다. 원주율은 '원'과 관련된 '상수' 값으로 주로 원의 넓이나 원주 등을 구할 때 사용된다.
우리가 알고 있는 원주율은 지름이 1인 원을 수직선상에 1바퀴 굴렸을 때의 길이를 나타내는데 근사값은 3.141592... 이다. 이 원주율을 근사값으로 밖에 나타낼 수 없는 이유는 유리수가 아니기 때문이다. 이 원주율이 비 순환소수인 '무리수' 라는 사실은 1761년, 요한 하인리히 람베르트가 증명했다. 이 뿐 아니라 원주율이 단순한 무리수가 아니란 사실도 증명됬는데 이것의 시초가 바로 '원적문제' 이다. 원적문제는 임이의 원이 있을 때, 이 원과 넓이가 같은 사각형을 작도할 수 있느냐 하는 것이다. 이 문제는 결국 불가능으로 해결되었는데 1882년, 페르디난트 폰 린데만이란 수학자가 원주율은 '초월수'라는 사실을 증명했기 때문이었다.
고대에는 원주율의 근사값을 다각형을 통해 구했는데 그 대표적인 예는 아르키 메데스가 사용한 정구십각형 이다. 그는 정구십각형을 이용하여 원주율의 근사값으로 3.1416 를 제시한 바 있다. 현대에 와서는 기존에 있었던 표현방식과 다르게 효율적인 새로운 무한급수가 발견되었다. 1996년 데이빗 베일리는 피터 보어와인, 시몽 플루프가 공동으로 구한 무한급수가 그것이다. 이 무한급수를 이용하면 원주율의 소수점 아래 n자리를 그 전 자리인 n-1 자리 까지 계산하지 않아도 구할 수 있다. 이 급수는 다음과 같다.
실제 이 수식을 이용하여 컴퓨터를 통해 원주율의 값을 계산한다. 필자도 이 수식을 프로그래밍해 원주율의 근사값을 구한적이 있는데 소스를 참고로 첨부하겠다.
이 수식뿐만 아니라 원주율은 다음과 같은 수식으로도 나타낼 수 있다.
마지막으로 원주율의 근사값을 소수점 아래 1000번째 자리까지를 표기한 원주율표를 나타내고 끝내도록 하겠다.
우리가 알고 있는 원주율은 지름이 1인 원을 수직선상에 1바퀴 굴렸을 때의 길이를 나타내는데 근사값은 3.141592... 이다. 이 원주율을 근사값으로 밖에 나타낼 수 없는 이유는 유리수가 아니기 때문이다. 이 원주율이 비 순환소수인 '무리수' 라는 사실은 1761년, 요한 하인리히 람베르트가 증명했다. 이 뿐 아니라 원주율이 단순한 무리수가 아니란 사실도 증명됬는데 이것의 시초가 바로 '원적문제' 이다. 원적문제는 임이의 원이 있을 때, 이 원과 넓이가 같은 사각형을 작도할 수 있느냐 하는 것이다. 이 문제는 결국 불가능으로 해결되었는데 1882년, 페르디난트 폰 린데만이란 수학자가 원주율은 '초월수'라는 사실을 증명했기 때문이었다.
수식
원주율은 사실 소수 2번째 자리(3.14) 까지만 알아 놓아도 지구 둘레를 계산하는 데에도 전혀 문제 없을 정도로 거의 정확한 값을 얻을 수 있다.고대에는 원주율의 근사값을 다각형을 통해 구했는데 그 대표적인 예는 아르키 메데스가 사용한 정구십각형 이다. 그는 정구십각형을 이용하여 원주율의 근사값으로 3.1416 를 제시한 바 있다. 현대에 와서는 기존에 있었던 표현방식과 다르게 효율적인 새로운 무한급수가 발견되었다. 1996년 데이빗 베일리는 피터 보어와인, 시몽 플루프가 공동으로 구한 무한급수가 그것이다. 이 무한급수를 이용하면 원주율의 소수점 아래 n자리를 그 전 자리인 n-1 자리 까지 계산하지 않아도 구할 수 있다. 이 급수는 다음과 같다.
결과는 당연 변수 a의 값이 근사값이 되겠다. (언어는 VB.net)Dim a As DoubleDim b As Double = 0Dim c As DoubleFor i = 0 To 20c = -(32 / (4 * i + 1)) - (1 / (4 * i + 3)) + (256 / (10 * i + 1)) - (64 / (10 * i + 3)) - (4 / (10 * i + 5)) - (4 / (10 * i + 7)) + (1 / (10 * i + 9))b += ((-1) ^ i / 2 ^ (10 * i)) * cNexta = (1 / 64) * b
이 수식뿐만 아니라 원주율은 다음과 같은 수식으로도 나타낼 수 있다.
| 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 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